Boa noite,
É possível, mas vai depender muito do dano do seu HD.
Em várias distribuições Linux, incluindo o Ubuntu, é possível usar um LiveDVD ou LivePendrive, ou seja, iniciar o sistema sem instalar ele no HD e, assim, fazer uma verificação do disco e/ou tentar fazer backup. Primeiro de tudo, é necessário ver se o Ubuntu consegue montar e ler esse HD. Faça o seguinte: em um outro computador que você tenha acesso, baixe a .iso de instalação do Ubuntu e grave ele em um DVD ou passe ele para um pendrive, depois faça o boot do computador pela mídia escolhida (DVD ou pendrive). Se não souber como fazer, faça uma pesquisa, há muito passo a passo pela internet ensinando desde como baixar, passar para um DVD/Pendrive, dá boot pele mídia escolhida, etc., quando o Ubuntu carregar vá em Experimentar o Ubuntu.
No desktop do Ubuntu, primeiro de tudo, como você é iniciante, vamos tentar da maneira mais fácil: na barra lateral com ícones (chamada de Lançador, semelhante a barra de tarefas do Windows), há um ícone chamado Arquivos (ou Files), clique nele e na lateral e em Dispositivos veja se seu HD é mostrado, se for, clique nele e veja se consegue exibir seus arquivos. Se sim, teoricamente já daria para fazer backup, mas seria interessante antes você fazer uma análise desse HD. Existem algumas ferramentas para isso, mas até hoje eu só usei o GSmartControl.
Para instalar ele, olhe para lançador e procure pelo ícone da Central de Programas do Ubuntu (Ubuntu Software Center), e lá pesquise por GSmartControl, clique no resultado e clique em Instalar. Ou ainda, se não funcionar, abra o Terminal (pesquise por Terminal no primeiro ícone da barra chamado Painel Inicial ou aperte Ctrl+Alt+T ao mesmo tempo no teclado) e então copie e cole (com o botão direito do mouse) os seguintes comandos e depois aperte Enter:
sudo apt-get update
E depois:
sudo apt-get install gsmartcontrol
Após isso, novamente no primeiro ícone da barra lateral, pesquise por GSmartControl. Clique nele para abrir, e clique duas vezes no HD com problemas. Na página que abrir, em Test type, há as opções Short Self-test e Extended Self-test, ao lado do botão executar. O ideal seria executar os dois, mas o segundo pode demorar muito tempo. Assim execute o primeiro (Short Self-test), copie o resultado e venha aqui no fórum, clique em Responder nesse tópico e na página que abrir, procure por uma pequena caixa com o simbolo # dentro. Clique nessa caixa, e irá aparecer na mensagem que você está enviando o texto [ code] Cole o texto aqui! [ /code]. Cole no meio desse texto que apareceu o texto que você copiou. Para o pessoal mais experiente (eu não incluso) poder ver qual o erro que está ocasionando esse problema.