A saída do
parted -l não bate com o que você falou.
Se a sda2 for a /home e só (não tiver sido utilizada na instalação do Lubuntu), sobra apenas a sda1 e, assim, teria ou o Ubuntu ou Lubuntu (um ou outro e não os dois), já que a sda3 é swap. Tem algum outro HD no seu computador?
Se você está seguro que os arquivos que você quer recuperar estão todos na sda2, realmente teria a opção de instalar o Lubuntu na sda1 (
mas sem usar a sda2 como /home ou qualquer outra coisa, ficando / + /home na sda1, para não correr o risco de sobrescrever nada). Mas cuidado quando for mexer em qualquer coisa nesse HD!!! Tratando de acessar os arquivos da sda2, não tem diferença entre você acessar por um Live ou instalar o Lubuntu na sda1 para isso. Então aconselho a usar o Live mesmo por enquanto.
PS: a sda1 está com a flag boot. Uma opção é
recuperar o Grub. Mas sem saber direito o que tem nessa sda1, não dá para garantir que o sistema que você vai recuperar não poderá sobreescrever algo na sda2.
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A pasta Lost & Found aparece em sistema de arquivos EXT, nada demais com isso.
No mais, se está faltando algo na sda2, é porque foi apagado e precisa tentar recuperar. Nunca fiz esse procedimento no Linux, mas deixei o link na minha primeira resposta que pode ajudar.
Ou também pode ser problema de permissão apenas, que não te dá acesso a algo. Se for esse o caso, pode tentar acessar a sda2 com
gksu pcmanfm para Lubuntu ou
gksu nautilus para Ubuntu e ver se consegue algo. Uma dica é usar o comando
ls -al
que vai listar os arquivos (inclusive ocultos, opção
a) com as suas permissões, proprietário e grupo (opção
l). Mas para usar o
ls -al, você vai ter que acrescentar o caminho/ponto de montagem do que você quiser ver.
Mas de tudo, se mesmo assim você quiser correr o risco de sobrescrever algo na sda2 e instalar o Lubuntu usando a sda2 como /home, se eu entendi o que você quer, teria que usar o mesmo nome de usuário antigo do Ubuntu na instalação do Lubuntu, e tomar cuidado em não marcar para formatar a sda2, definindo o ponto de montagem dela como /home. Mas é o que eu disse, por sua conta e risco arriscar sobrescrever algo que foi apagado, e também isso pode dar errado pelo motivo das permissões que você apontou. Minha recomendação é ver sobre as permissões e, se falta algum arquivo aí, tentar recuperar conforme o link que passei na primeira resposta (e tudo usando um live mesmo).
Você lembra se chegou a usar alguma opção de criptografia nessa /home (sda2)?