Não pode, quando você instala pode escolher criar uma partição raiz / (seria como o c: do windows) e outra partição separada /home (seria como meus documentos no windows). Como você não fez isso logo na instalação não pode mexer na partição raiz e nem na home porque gerará conflito de configuração e provavelmente seu Ubuntu nem iniciará no próximo login.
O que você pode fazer é pegar um live-cd do ubuntu e criar uma partição extra com o tamanho que desejar desde que esteja disponível e dar o nome a partição pode ser Home1, ou Dados, ou Meus Documentos. E configurar seu navegador para salvar todos seus downloads de vídeo, música e fotos nessa partição.