Começa a fazer sentido, então; o diretório em /usr/share/dokuwiki são os dados, e o /etc/dokuwiki devem ser arquivos de configuração. Em sendo assim, não há problema.
As permissões em /usr/share/dokuwiki (0755 ou rwxr-xr-x) parecem corretas, não há necessidade de alterá-las. Essa permissão autoriza o dono do diretório a ter acesso total, o grupo a ter acesso de leitura e busca de arquivos, e outros a terem acesso de leitura e busca de arquivos. Assim, o usuário www-data pode acessar o diretório como "outros".
Veja se existe um arquivo em /etc/apache2/conf.d/ com o nome "dokuwiki.conf". Se houver, mostre o conteúdo dele aqui.